Se stavi cercando la distanza dal valore successivo sopra e se hai inserito un valore extra in $ 1 $ quindi questo ha sempre avuto una risposta, allora usandosimmetria rotazionale la distribuzione di queste distanze $ D $ sarebbe la stessa della distribuzione del minimo di $ n + 1 $ variabili casuali uniformi indipendenti su $ [0,1] $ .

Avrebbe $ P (D \ le d) = 1- (1-d) ^ {n + 1} $ e quindi densità $ f (d) = (n + 1) (1-d) ^ n $ quando $ 0 \ le d \ le 1 $ .Per $ n $ grande e piccolo $ d $ questa densità può essere approssimata da $ f (d) \ approx ne ^ {- nd} $ , che spiega la forma esponenziale che hai individuato.

Ma la tua domanda è leggermente più complicata, poiché sei interessato alla distanza con segno dal valore più vicino sopra o sotto. Come mostra il tuo collegamento a Wikipedia, il minimo di due i.i.d. variabili casuali esponenziali con rate $ \ lambda $ è una variabile casuale esponenziale con rate $ 2 \ lambda $ . Quindi è necessario modificare l'approssimazione della densità per riflettere sia il tasso raddoppiato sia la possibilità di valori negativi di $ d $ . L'approssimazione diventa effettivamente una distribuzione di Laplace con $$ f (d) \ approx ne ^ {- 2n | d |} $$ ricordando che questo è per grandi $ n $ e $ d $ (in particolare la vera densità è $ 0 $ a meno che $ - \ frac12 \ lt d \ lt \ frac12 $ ). Man mano che $ n $ aumenta, questo concentra quasi tutta la densità a $ 0 $ come nella risposta di Bayequentist del limite di una distribuzione delta di Dirac

Con $ n = 10 ^ 6 $ l'approssimazione della densità sarebbe simile a questa, corrispondente alla forma dei dati simulati.

Quando $ N \ to \ infty $ , $ L_N $ contiene tutti i numeri reali in $ (0,1) $ .Pertanto, la distanza da qualsiasi numero in $ (0,1) $ al numero più vicino in $ L_N $ span> si avvicinerà a 0 come $ N \ to \ infty $ .La distribuzione delle distanze si avvicina alla distribuzione delta di Dirac come $ N \ a \ infty $ .

Ecco alcune simulazioni:

Ecco uno snippet di codice:

  n <- 100000
Ln <- runif (n)

nSim <- 10000
distanze <- rep (0, nSim)
for (i in 1: nSim) {
  b <- runif (1)
  distanze [i] <- min (abs (Ln-b))
}
hist (distanze, main = "N = 100000")
 

c'è un modo per capire cos'è esattamente questa distribuzione (per N grandi ma finiti)?

La differenza di due variabili casuali uniformi standard è triangolare (-1,0,1) con pdf $ 1- | x | $ definito su $ (- 1,1) $ .

La distanza è il valore assoluto della differenza che dice pdf $ f (x) $ :

Ripetere l'esercizio $ n $ volte e prendere la distanza minima equivale a trovare il $ (1 ^ { \ text {st}}) $ statistica dell'ordine rispetto al pdf genitore $ f (x) $ , che è data da:

dove sto usando la funzione OrderStat dal pacchetto mathStatica per Mathematica per automatizzare i grattini e dove il dominio del supporto è (0,1). La soluzione ha una distribuzione di Power Function con pdf del formato $ g (x) = a x ^ {a-1} $ .

Il diagramma seguente confronta un grafico del pdf esatto della distanza minima appena derivata $ g (x) $ (curva tratteggiata rossa) ... con un Monte Simulazione Carlo (curva blu ondulata), quando la dimensione del campione è $ n = 10 $ :

Simulazione : poiché stai usando Mathematica per la simulazione, ecco il codice che sto usando per la simulazione dei dati in Mathematica :

  data = Tabella [Min [Abs [RandomReal [{}, 10] - RandomReal []]], 20000];
 

Per ottenere un numero maggiore di $ d $ come risultato, tutti i numeri nel campione devono essere $ d $ lontano da $ b $ . La probabilità che ciò accada per qualsiasi individuo $ x_0 $ è solo la massa di probabilità al di fuori dell'intervallo $ b \ pm d $ . Chiamalo $ p_ {outside} $ . La probabilità che ciò accada per tutti i $ x_i $ nel tuo campione è $ (p_ {outside}) ^ N $ span>. Se $ x_i $ vengono scelti in modo uniforme dall'intervallo di unità, allora $ p_ {outside} $ per $ b $ più di $ d $ dal confine sarà $ 1 -2d $ e questo restituisce $ p_ {outside} ^ N = (1-2d) ^ N $ . Per $ N $ grande e piccolo $ d $ , che può essere approssimato da $ e ^ {- 2Nd} $ .

Immagina di disegnare prima l'ultimo e di denotarlo con una X. Questo non cambia affatto la formulazione del problema. Per qualsiasi $ X_i \ in L_N, i = 1, ..., N $ , sappiamo che $ Y_i: = | X-X_i | $ ha una distribuzione (puoi o non vuoi calcolarla) e che $ Y_i $ sono iid dati $ X $ . Da Wikipedia, sappiamo che il CDF minimo è $$ F_ {min} (y) = 1 - [1-F_Y (y)] ^ N. $$

Per qualsiasi $ y $ fisso, conosciamo $ F_Y (y) > 0 $ per qualsiasi $ y > 0 $ e $ F (y) = 0 $ altrimenti. Prendi $ N \ to \ infty $ e ottieni un CDF identico per $ y > 0 $ span > e altrimenti uguale a zero. Questa è una funzione delta centrata su zero, come mostrano tutte le simulazioni sopra. Questo vale per qualsiasi $ x \ in (0,1) $ quindi la convergenza vale sempre (anche se con tassi di convergenza variabili, forse).