Riepilogo: se le variabili originali erano standardizzate, dovresti semplicemente guardare il primo asse principale ( rotazione nella terminologia R) e selezionare le variabili con i valori assoluti più alti.

Considera il set di dati $ \ mathbf {X} $ con variabili centrate nelle colonne e $ N $ punti dati nelle righe. L'esecuzione della PCA di questo set di dati equivale alla scomposizione di un valore singolare $ \ mathbf {X} = \ mathbf {U} \ mathbf {S} \ mathbf {V} ^ \ top $. Qui le colonne di $ \ mathbf {V} $ sono gli assi principali, $ \ mathbf {S} $ è una matrice diagonale con valori singolari e le colonne di $ \ mathbf {U} $ sono i componenti principali scalati alla norma unitaria. I PC standardizzati sono dati da $ \ sqrt {N-1} \ mathbf {U} $. I PC stessi (noti anche come "punteggi") sono dati da colonne di $ \ mathbf {US} $.

Nota che la matrice di covarianza è data da $ \ frac {1} {N-1} \ mathbf {X} ^ \ top \ mathbf {X} = \ mathbf {V} \ frac {\ mathbf { S} ^ 2} {{N-1}} \ mathbf {V} ^ \ top = \ mathbf {VEV} ^ \ top $, quindi gli assi principali $ \ mathbf {V} $ sono autovettori della matrice di covarianza e $ \ mathbf E = \ frac {\ mathbf S ^ 2} {N-1} $ sono i suoi autovalori.

Ora possiamo calcolare la matrice di covarianza incrociata tra variabili originali e PC standardizzati: $$ \ frac {1 } {N-1} \ mathbf {X} ^ \ top (\ sqrt {N-1} \ mathbf {U}) = \ frac {1} {\ sqrt {N-1}} \ mathbf {V} \ mathbf {S} \ mathbf {U} ^ \ top \ mathbf {U} = \ mathbf {V} \ frac {\ mathbf {S}} {\ sqrt {N-1}} = \ mathbf {V} \ sqrt {\ mathbf E} = \ mathbf {L}. $$ Questa matrice è chiamata matrice carichi : è data dagli autovettori della matrice di covarianza scalata dalle radici quadrate dei rispettivi autovalori.

La matrice di correlazione incrociata tra variabili originali e PC è data dalla stessa espressione divisa per le deviazioni standard delle variabili originali (per definizione di correlazione). Se le variabili originali sono state standardizzate prima di eseguire la PCA (ovvero la PCA è stata eseguita sulla matrice di correlazione) sono tutte uguali a $ 1 $. In questo ultimo caso la matrice di correlazione incrociata è di nuovo data semplicemente da $ \ mathbf {L} $.

Sei interessato solo alle principali correlazioni con il primo PC, il che significa che dovresti guardare la prima colonna di $ \ mathbf {L} $ e selezionare le variabili con i valori assoluti più alti. Ma si noti che la prima colonna di $ \ mathbf {L} $ è uguale alla prima colonna di $ \ mathbf {V} $, fino a un fattore di scala (dato dalla radice quadrata del primo autovalore della matrice di covarianza). Quindi, in modo equivalente, puoi guardare la prima colonna di $ \ mathbf {V} $ (cioè il primo asse principale, o rotazione nella terminologia R) e selezionare le variabili con i valori assoluti più alti.

Ma ancora una volta, questo è vero solo se le variabili originali erano standardizzate.

Ho avuto qualche chiarimento in più sul problema dopo aver letto questo collegamento sulle correlazioni tra i componenti principali e le variabili originali

Mi sembra che sia come trovare quelle variabili che contribuiscono principalmente alla componente principale. Quindi, dopo il ridimensionamento / trasformazione z, i valori delle variabili che sono 1,5 σ lontano dalla media (σ è uguale a uno e media zero in questo caso) sono stati considerati i contributori più importanti. Quindi le seguenti righe di codice faranno il lavoro immagino:

  rot1.scaled <- scale (pca.object $ rotation [, 1]) names (which (rot1.scaled [, 1] > 1.5 | rot1.scaled [, 1] < -1.5)) 

In un altro modo di selezionare, se scelgo i geni che contribuiscono con Top 'N', il codice sarebbe:

  topN <- 5load.rot < - pca.object $ rotationnames (load.rot [, 1] [order (abs (load.rot [, 1]), decrescente = TRUE)] [1: topN])  

Per favore correggimi se sbaglio.