Sia $ X_1, \ ldots, X_n $ un campione casuale da un $ N (0,1) $ popolazione. Definisci $ Y_1 = | \ frac1n \ sum_ {i = 1} ^ nX_i | $ e $ Y_2 = \ frac1n \ sum ^ n_ {i = 1} | X_i | $ . Trova una relazione tra $ E (Y_1) $ e $ E (Y_2) $ .
Ho la sensazione che dovrò usare la disuguaglianza di Jensen qui. Poiché $ X_i \ sim N (0,1) $ , la combinazione lineare $ \ sum_ {i = 1} ^ nX_i \ sim N (0, n) $ .
$ E (Y_1) = \ frac1n \ cdot E (| \ sum_ {i = 1} ^ nX_i |) $
$ E (Y_2) = \ frac1n \ cdot E (\ sum_ {i = 1} ^ n | X_i |) $
Tuttavia, non sono molto sicuro di come calcolare $ E (Y_1) $ o $ E (Y_2) $ da questo passaggio poiché sono presenti valori assoluti. Devo utilizzare un approccio cdf?