Domanda:
Come posso stabilire una disuguaglianza tra $ | \ frac1n \ sum_ {i = 1} ^ nX_i | $ e $ \ frac1n \ sum ^ n_ {i = 1} | X_i | $ dove $ X_i \ sim N (0,1) $?
Ron Snow
2019-11-17 04:21:21 UTC
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Sia $ X_1, \ ldots, X_n $ un campione casuale da un $ N (0,1) $ popolazione. Definisci $ Y_1 = | \ frac1n \ sum_ {i = 1} ^ nX_i | $ e $ Y_2 = \ frac1n \ sum ^ n_ {i = 1} | X_i | $ . Trova una relazione tra $ E (Y_1) $ e $ E (Y_2) $ .

Ho la sensazione che dovrò usare la disuguaglianza di Jensen qui. Poiché $ X_i \ sim N (0,1) $ , la combinazione lineare $ \ sum_ {i = 1} ^ nX_i \ sim N (0, n) $ .

$ E (Y_1) = \ frac1n \ cdot E (| \ sum_ {i = 1} ^ nX_i |) $

$ E (Y_2) = \ frac1n \ cdot E (\ sum_ {i = 1} ^ n | X_i |) $

Tuttavia, non sono molto sicuro di come calcolare $ E (Y_1) $ o $ E (Y_2) $ da questo passaggio poiché sono presenti valori assoluti. Devo utilizzare un approccio cdf?

Riesci a trovare una relazione tra $ Y_1 $ e $ Y_2 $ che sia valida?
@user257566 Non sono sicuro di sapere cosa intendi
Ad esempio, per i numeri $ a $ e $ b $, cosa puoi dire di $ | a + b | $ rispetto a $ | a |+ | b | $?
@user257566 $ | a |+ | b |\ ge | a + b | $.Quindi, $ \ Sigma ^ n_ {i = 1} | X_i |\ ge | \ Sigma_ {i = 1} ^ n X_i | $.Tuttavia, vorrei mostrarne una prova rigorosa e potenzialmente calcolare $ E (Y_1) $ e $ E (Y_2) $.
giusto.ora, usando che $ Y_2 $ è puntualmente più grande di $ Y_1 $ per (rigorosamente) dimostrare che il tuo risultato si basa solo su un semplice utilizzo di camper più grandi hanno mezzi più grandi (vedi ad esempio thm 1.6.1 di probabilità di durrett, v5)
Due risposte:
gunes
2019-11-17 16:13:10 UTC
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Supponendo $ X_i $ indipendente, la media $ \ frac {1} {n} \ sum X_i $ è normale, cioè $ N (0,1 / n) $ .Il valore assoluto è Half-normal, che significa $ E [Y_1] = \ frac {\ sigma \ sqrt {2}} {\ sqrt {\ pi}} = \ sqrt {\ frac {2} {n \ pi}} $ .Per $ Y_2 $ possiamo trovare direttamente il valore atteso: $$ E [Y_2] = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n E [| X_i |] = E [| X_i |] = \ sqrt\ frac {2} {\ pi} $$

Ciò significa $ \ sqrt n E [Y_1] = E [Y_2] $ .Penso che un'uguaglianza sia meglio della disuguaglianza.

Capisco come hai ottenuto $ \ frac {1} {n} \ Sigma X_i \ sim N (0,1 / n) $.C'è un modo per trovare $ E (Y_1) $ senza dover usare la distribuzione semi-normale?
Calcolare $ E [| X |] $ per un RV normale a media zero è semplice (sia $ x ^ 2/2 \ sigma ^ 2 = u $): $$ E [| X |] = 2 \ int_0 ^ \ infty\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} xe ^ {- x ^ 2/2 \ sigma ^ 2} dx = 2 \ frac {\ sigma} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0^ \ infty e ^ {- u} du = \ sigma \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} $$
Konstantin
2019-11-17 17:20:59 UTC
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Answer:

Qualunque sia la distribuzione di $ X_1, ..., X_n $ ,

$$ \ mathbb {E} Y_2 \ geq \ mathbb {E} Y_1. $$

Details:

Per qualsiasi $ n $ numero $ X_1, ..., X_n $ è vero che

$$ \ sum_i | X_i | \ geq | \ sum_i X_i | $$

e dividendo entrambi i lati per $ n $ :

$$ \ frac {1} {n} \ sum_i | X_i | \ geq \ frac {1} {n} | \ sum_i X_i | = | \ frac {1} {n} \ sum_i X_i |. $$

Ora, la parola chiave è 'any', ciò significa che se prendiamo integrali di entrambi i lati della disuguaglianza di cui sopra, l'integrando del lato sinistro è uniformly più alto dell'integrando del lato destro, cioè

$$ \ mathbb {E} Y_2 = \ int \ frac {1} {n} \ sum_i | X_i | dX_1 ... dX_n \ geq \ int | \ frac {1} {n} \ sum_i X_i | dX_1 ... dX_n = \ mathbb {E} Y_1. $$



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Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 4.0 con cui è distribuito.
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