Abbiamo $$ \ begin {align *} R ^ 2 = 1 - \ frac {\ sum {e_i ^ 2}} {\ sum {(y_i - \ bar {y}) ^ 2}} = 1 - \ frac {e ^ \ prime e} {\ tilde {y} ^ \ prime \ tilde {y}}, \ end {align *} $$ dove $ \ tilde {y} $ è un vettore $ y $ sminuito.
Ricorda che $ \ hat {\ beta} = (X ^ \ prime X) ^ {- 1} X ^ \ prime y $, implicando che $ e = y - X \ hat {\ beta} = y - X (X ^ \ prime X) ^ {- 1} X ^ \ prime y $. La regressione su un vettore di 1s, scritto come $ l $, fornisce la media di $ y $ poiché il valore previsto e i residui di quel modello producono valori $ y $ sminuiti; $ \ tilde {y} = y - \ bar {y} = y - l (l ^ \ prime l) ^ {- 1} l ^ \ prime y $.
Sia $ H = X ( X ^ \ prime X) ^ {- 1} X ^ \ prime $ e sia $ M = l (l ^ \ prime l) ^ {- 1} l ^ \ prime $, dove $ l $ è un vettore di 1. Inoltre, sia $ I $ una matrice di identità della dimensione richiesta. Quindi abbiamo
$$ \ begin {align *} R ^ 2 & = 1- \ frac {e ^ \ prime e} {\ tilde {y} ^ \ prime \ tilde {y}} \ \ & = 1 - \ frac {y ^ \ prime (I - H) ^ \ prime (IH) y} {y ^ \ prime (I - M) ^ \ prime (IM) y} \\ & = 1 - \ frac {y ^ \ prime (IH) y} {y ^ \ prime (IM) y}, \ end {align *} $$
dove la seconda riga deriva dal fatto che $ H $ e $ M $ (e $ I $) sono idempotenti.
Nel caso ponderato, sia $ \ Omega $ la matrice di ponderazione utilizzata nella funzione obiettivo OLS, $ e ^ \ prime \ Omega e $. Inoltre, sia $ H_w = X \ Omega ^ {1/2} (X ^ \ prime \ Omega X) ^ {- 1} \ Omega ^ {1/2} X ^ \ prime $ e $ M_w = l \ Omega ^ {1/2} (l ^ \ prime \ Omega l) ^ {- 1} \ Omega ^ {1/2} l ^ \ prime $. Quindi, $$ \ begin {align *} R ^ 2 & = 1 - \ frac {y ^ \ prime \ Omega ^ {1/2} (I-H_w) \ Omega ^ {1/2} y} {y ^ \ prime \ Omega ^ {1/2} (I-M_w) \ Omega ^ {1/2} y}, \ end {align *} $$