Se provo che lo stimatore di $ \ theta ^ 2 $ è corretto, ciò prova che lo stimatore del parametro $ \ theta $ è corretto?

kingledion

2017-04-02 04:54:03 UTC

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Sia $ X_i $ una variabile casuale iid avente pdf $ f (\ mathbf {x} | \ theta) $, dove $ E (X_i) = 6 \ theta ^ 2 $ e $ \ theta > 0 $.

Ho calcolato uno stimatore per il parametro ($ \ theta $) di $ f (\ mathbf {x} | \ theta) $ $ \ hat {\ theta} = \ sqrt {\ bar {x} /6} $.Per dimostrare che questo è uno stimatore imparziale, dovrei provare che $ E (\ hat {\ theta}) = E \ left (\ sqrt {\ bar {x} / 6} \ right) $.Tuttavia, poiché $ \ hat {\ theta} ^ 2 = \ bar {x} / 6 $, sarebbe molto più facile mostrare che $$ \ begin {align} E (\ hat {\ theta} ^ 2) & =E (\ bar {x} / 6) \\ & = \ frac {1} {6} E \ left (\ frac {\ sum X_i} {n} \ right) \\ & = \ frac {1} {6n} \ sum E (X_i) \\ & = \ frac {1} {6n} n6 \ theta ^ 2 \\ & = \ theta ^ 2. \ End {align} $$

In generale, provare $ x ^ 2 = 4 $ non è la stessa cosa che provare $ x = 2 $, poiché $ x $ potrebbe anche essere $ -2 $.Tuttavia, in questo caso $ \ theta>0 $.

Ho dimostrato che $ \ hat {\ theta} ^ 2 $ è imparziale, è sufficiente per dimostrare che $ \ hat {\ theta} $ è imparziale?

Il tuo titolo non sembra avere senso;sembra che si parli della stima di una variabile casuale - ciò che si stima è un parametro;La tua ultima frase dice "Ho dimostrato che $ θ ^ 2 $ è imparziale $ ma * parametri * non sono distorti o imparziali, ... * stimatori * di parametri lo sono. Modifica in modo che la tua domanda sia chiara.

Si prega di consultare la [guida / sull'argomento] sulle domande in stile compiti a casa (di routine tipo libro di testo) (la discussione si applica indipendentemente dal fatto che si tratti effettivamente di compiti a casa o meno), quindi aggiungere il tag `autoapprendimento` come suggerito lì, e modificare la domandaseguire le linee guida per porre tali domande.In particolare, dovresti identificare chiaramente cosa hai fatto per risolvere il problema da solo e indicare l'aiuto specifico di cui hai bisogno nel punto in cui hai incontrato difficoltà.

possibile duplicato: https://stats.stackexchange.com/questions/271319/expectation-of-a-square-root-of-a-sample-mean/271326#271326

@Taylor sono certamente correlati ma la domanda qui non ha la stessa risposta della domanda lì.

@Glen_b ha ragione, qui la terminologia è sbagliata.Ma sospetto che ti starai chiedendo se uno stimatore è imparziale per $ \ theta ^ 2 $, quindi la radice quadrata di tale stimatore non è corretto per $ \ theta $.No non lo è.

@Glen_b Ho aggiunto cappelli all'ultima frase per chiarire che si tratta di stimatori di parametri.Ho modificato il titolo per chiarire che sto valutando anche i parametri.Per quanto riguarda il tuo secondo commento, ho aggiunto il tag di autoapprendimento.Non sono sicuro di come non fossi chiaro su quali passi avevo fatto o su cosa ero bloccato.Sebbene la mia terminologia fosse errata, sembra che la domanda fosse abbastanza chiara per ottenere una risposta.

Grazie per le modifiche.Ti stavo suggerendo di mostrare qualche tentativo di provare il risultato che hai chiesto qui.Non importa, è stato possibile fornire indicazioni e suggerimenti senza fornire la piena derivazione.