Domanda:
La media dei campioni è ancora un campione valido?
Euler_Salter
2020-04-30 15:43:08 UTC
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Supponiamo di campionare $ n $ volte da una distribuzione $$ x_1, \ ldots, x_n \ sim p_ \ theta (x) $$ la media dei campioni always è un campione valido dalla distribuzione target?Cioèè $ \ overline {x} $ un esempio valido da $ p_ \ theta (x) $ $$ \ overline {x} = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n x_i $$

La mia intuizione è che non lo sia.Ad esempio, supponiamo che la distribuzione sia multimodale
Puoi leggere informazioni sul Teorema del limite centrale.
La domanda è se la media ha la stessa distribuzione o se la media è un possibile campione della distribuzione?
Che cos'è un ** "_ campione valido _" **?Ad esempio, stai chiedendo se la media dei campioni da una distribuzione è necessaria un membro dell'insieme di valori che la distribuzione include?
Grandi risposte di seguito.Forse l'esempio più semplice a cui pensare è quello di tirare un dado.Il risultato medio è 3,5, che non si presenterà mai come un'osservazione individuale.
Sei risposte:
#1
+21
gunes
2020-04-30 15:48:21 UTC
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No, $ \ bar x $ ha una propria distribuzione di campionamento.Prendiamo, ad esempio, le varianze di $ \ bar x $ e $ x_i $ , in cui il primoè sempre inferiore ( $ \ leq $ ) di quest'ultimo, il che significa che $ \ bar x $ non ècampionato da $ p_ \ theta (x) $ .

Buon punto!È una cosa così semplice da controllare
È un esempio da $ p $ solo quando $ n = 1 $ btw.
Se ricordo bene, il caso eccezionale qui è la distribuzione di Cauchy.cioè se $ x_i $ sono campionati da una distribuzione di Cauchy, allora $ \ bar x $ viene distribuito come la stessa distribuzione di Cauchy.
@kdbanman corretto, è indicato anche in un'altra risposta da javierozcoiti.Un'altra banale eccezione è la costante RV.
Ah, questo è quello che ottengo per non leggere [email protected] grazie per il caso aggiuntivo.In un certo senso, è interessante che i casi limite siano gli estremi della dispersione: dispersione minima per RV costante (cioè distribuzione delta) e dispersione massima per Cauchy.
#2
+21
Dason
2020-05-01 00:49:02 UTC
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Buoni esempi fino ad ora, ma considera $$ X_i \ sim Bernoulli (.5) $$

In quel caso la distribuzione dei dati avrà supporto solo su 0 e 1. Ma la media campionaria avrà una probabilità sempre decrescente di assumere un valore di 0 o 1 man mano che la dimensione del campione diventa sempre più grande.Questo da solo dovrebbe mostrare che la media non viene campionata dalla distribuzione originale.

#3
+13
javierazcoiti
2020-05-01 01:01:54 UTC
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No, è valido solo nei casi in cui la distribuzione di Cauchy, i mezzi di campioni del Cauchy seguono la stessa distribuzione di Cauchy.

Vero.E non è nemmeno l'unico esempio, ma poiché la domanda dice specificamente "sempre", gli esempi non sono così importanti quanto i controesempi qui.
(+1) Questa potrebbe essere la risposta perfetta e non banale per il tipo di domanda "può essere".
Penso che l'esempio "perfetto" possa essere una distribuzione che è una massa puntiforme.È molto meno complicato che avere a che fare con un Cauchy.
#4
+12
JDL
2020-05-01 13:09:15 UTC
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Come esempio ancora più patologico, si consideri un campione della distribuzione che è uniforme sull'unione di $ [0,1] $ e $ [3,4] $ .All'aumentare della dimensione del campione, la media tenderà a 2, il che non è nemmeno a sostegno della distribuzione .Un altro esempio simile è la distribuzione uniforme sul confine della sfera unitaria (in qualsiasi numero di dimensioni)

#5
+9
Greenparker
2020-04-30 15:48:04 UTC
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No.Supponi di avere $ X_1, X_2 \ sim N (0,1) $ .Poi, $$ \ bar {X} = \ dfrac {X_1 + X_2} {2} \ sim N \ left (0, \ dfrac {1} {2} \ right) \ ,. $$

Ma $ N (0,1) \ ne N (0, 1/2) $ .

#6
+1
Jorge Leitao
2020-05-02 09:42:04 UTC
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No.

Perché la media sia un campione della distribuzione, deve appartenere al supporto della distribuzione.

Di seguito sono riportati due esempi in cui non è così (il che è sufficiente per dimostrare che l'affermazione non è vera in generale).

Discreto

La distribuzione p (x = 1) = 0,5;p (x = -1) = 0.5 ha supporto $$ S = \ {- 1,1 \} $$ ma nella media $ 0 \ notin S $ .

Continuo

La funzione di densità

$$ p (x) = \ frac {1} {2} rect (x-1) + \ frac {1} {2} rect (x + 1) $$

(due funzioni rettangolari centrate rispettivamente su 1 e -1) ha il supporto

$$ S =] -1.5, -0.5 [\ cap] 0.5,1.5 [$$

ma nella media $ 0 \ notin S $ .



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 4.0 con cui è distribuito.
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