Domanda:
Qual è la distribuzione del parametro di distribuzione binomiale $ p $ dato un campione k e n?
Penz
2011-07-19 05:33:17 UTC
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Se ho $ k $ successi nelle prove $ n $ bernoulli, il parametro $ p $ della distribuzione binomiale segue una distribuzione ben nota? Esistono alcuni metodi per calcolare gli intervalli di confidenza per $ p $, I ' Sono interessato alla distribuzione per il metodo esatto.

Penso che tu intenda la proporzione campione $ \ hat {p} = k / n $.
Due risposte:
#1
+12
steffen
2011-07-19 16:16:32 UTC
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Da un punto di vista bayesiano la distribuzione di p con k successi empirici e n prove è la distribuzione beta, in dettaglio $ p \ sim Beta (\ alpha, \ beta) $ con $ \ alpha = k + 1 $ e $ \ beta = n-k + 1 $. Rappresenta la densità non normalizzata $ prob (p | data) $, ovvero la probabilità non normalizzata che il parametro sconosciuto sia $ p $ dati i dati (successi e prove) che hai visto finora.

Modifica: Sia n arbitrario ma fisso. Quindi la densità a posteriori può essere derivata tramite il teorema di Bayes $ prob (p | k) = \ frac {prob (k | p) * prob (p)} {prob (k)} \ propto prob (k | p) \ propto p ^ k (1-p) ^ {nk} $. Qui viene assunto un $ prob (p) $ a priori uniforme, la costante di normalizzazione $ prob (k) $ viene saltata poiché non dipende da p. Quindi "non normalizzato". La distribuzione di $ prob (p | k) $ dato un n fisso (cioè $ prob (p | k, n) $) è la Betadistribution come specificato sopra.

Ad esempio: Il pacchetto r binom usa Betadistribution per calcolare gli intervalli di confidenza. Vedi i metodi biom.confint cioè binom.bayes

Buona risposta. Mi chiedo cosa sia "non normalizzato" nella distribuzione Beta? Forse stai pensando a $ p ^ \ alpha (1-p) ^ \ beta dp $ invece?
Questo è tutto! C'è un modo per normalizzarlo?
@whuber ho aggiornato la mia risposta, stavo pensando alla "derivazione".
@Penz In generale non è necessaria la normalizzazione manuale, ad es. per la determinazione degli intervalli di confidenza puoi usare le funzioni inverse-cdf già disponibili come "qbeta" in R.
#2
+4
Rob Hyndman
2011-07-19 07:39:32 UTC
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La proporzione campione $ \ hat {p} = k / n $ ha una distribuzione binomiale scalata. Questo è $ k \ sim \ text {Binomiale} (n, p) $ che è scalato dalla dimensione del campione $ n $. Non credo abbia un altro nome.

Il mio cervello si scioglie quando penso a questo.Se k = 3, n = 3, allora p = 1.Ma questo sembra altamente improbabile dato che Pr (p | k, n) è quasi certamente diverso da zero per ogni p.Molti p possono aver generato k e n.
Se scrivi la funzione densità / massa del cosiddetto binomio in scala, puoi guadagnare così tanti interni


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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