Domanda:
Formula per la regressione lineare semplice ponderata
Wei Shi
2011-07-05 21:16:54 UTC
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Questa pagina wiki Regressione lineare semplice contiene formule per calcolare $ \ alpha $ e $ \ beta $. Qualcuno potrebbe dirmi come derivare le formule in maiuscolo / minuscolo?

Una derivazione è nell'articolo di Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Least_squares#Weighted_least_squares
Una risposta:
#1
+18
whuber
2011-07-05 21:40:00 UTC
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Pensa ai minimi quadrati ordinari (OLS) come a una "scatola nera" da minimizzare

$$ \ sum_ {i = 1} ^ n (y_i - (\ alpha 1 + \ beta x_i)) ^ 2 $$

per una tabella dati la cui $ i ^ \ text {th} $ riga è la tupla $ (1, x_i, y_i) $.

Quando ci sono pesi , necessariamente positivo, possiamo scriverli come $ w_i ^ 2 $. Per definizione, i minimi quadrati ponderati riducono al minimo

$$ \ sum_ {i = 1} ^ n w_i ^ 2 (y_i - (\ alpha 1 + \ beta x_i)) ^ 2 $$

$$ = \ sum_ {i = 1} ^ n (w_i y_i - (\ alpha w_i + \ beta w_i x_i)) ^ 2. $$

Ma questo è esattamente ciò che è la scatola nera OLS minimizzando quando viene fornita la tabella dati composta dalle tuple "pesate" $ (w_i, w_i x_i, w_i y_i) $. Quindi, l'applicazione delle formule OLS a queste tuple ponderate fornisce le formule che cerchi.



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