Domanda:
$ \ nomeoperativo {Var} (X ^ 2) $, se $ \ nomeoperatore {Var} (X) = \ sigma ^ 2 $
MYaseen208
2011-05-05 08:42:06 UTC
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Quale sarebbe $ \ operatorname {Var} (X ^ 2) $ , se $ \ operatorname {Var} (X) = \ sigma ^ 2 $ ?

$ Var [X] \ stackrel {d} {=} \ mathbb {E} [X ^ 2] - (\ mathbb {E} [X]) ^ 2 \ a Var [X ^ 2] = \ mathbb {E} [X ^ 4] - (\ mathbb {E} [X ^ 2]) ^ 2 $ o forse anche più confuso $ Var [X ^ 2] = \ mathbb {E} [X ^ 4] - (Var [X ^ 2] + (\ mathbb {E} [X]) ^ 2) $
In generale non esiste una formula prontamente disponibile. Puoi utilizzare il metodo delta per ottenere l'approssimazione: ecco [la domanda pertinente] (http://stats.stackexchange.com/questions/5782/variance-of-a-function-of-one-random-variable/5790# 5790).
Quattro risposte:
#1
+13
Nick Sabbe
2011-05-05 11:35:13 UTC
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Come semplice esempio delle risposte di @ user2168 e @mpiktas: la varianza dell'insieme di valori 1,2,3 è 0.67, mentre la varianza del suo quadrato è 10.89. D'altra parte, anche la varianza di 2,3,4 è 0.67, ma la varianza dei quadrati è 24.22.

Queste sono solo varianze per insiemi finiti di dati, ma l'idea si estende alle distribuzioni.

Un altro esempio simile: se +1 e -1 sono ugualmente probabili, la varianza è 1, ma la varianza dei quadrati è 0; se 0 e 2 sono ugualmente probabili, la varianza è di nuovo 1 ma la varianza dei quadrati è 4.
#2
+4
by Taylor
2012-02-02 21:28:46 UTC
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Propagazione degli errori tramite la regola di Taylor (noto anche come metodo "delta") -

$$ \ operatorname {Var} (X ^ 2) \ approx 4 \ nome operatore {\ mathbb {E}} (X) ^ 2 \ nome operatore {Var} (X) $$

Intendi $ 4 E (X) ^ 2 Var (X) $?
Hmmm ... mi chiedo cosa succede nel metodo delta quando $ E (x) = 0 $, come nella distribuzione normale standard ;-).
@whuber: puoi aggiungere un altro termine all'espansione di Taylor sottostante il metodo delta; se lo fai, ottieni $ \ text {Var} (X ^ 2) \ approx \ mu_4 (X) $, il quarto momento centrale di $ X $.
@Elvis: hai ragione; Ho corretto la formattazione per renderla più chiara.
@Elvis, no, volevo dire X ^ 2, ma fai un buon punto. Questo vale solo per gli errori eteroschedastici, quindi .. non molto utile alla domanda effettiva che è stata posta!
?! $ \ mathrm {Var} \ left (X ^ 2 \ right) = 4 X ^ 2 \ mathrm {Var} (X) $ non ha alcun senso, a sinistra hai una costante e a destra un casuale variabile.
#3
+1
Acccumulation
2018-12-19 03:09:12 UTC
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È facile vedere che la relazione tra allora non è costante prendendo $ X '= X + c $ .Spostare una distribuzione di una costante non influisce sulla varianza, ma $ Var ((X + c) ^ 2) $ può essere reso arbitrariamente grande. $ Var (X ^ 2) $ è una statistica del quarto ordine (ovvero è una combinazione di momenti di ordine quattro e inferiori) e non può essere scritta in termini distatistiche sugli ordini come varianza e media.

#4
-1
yupbank
2018-12-18 21:26:34 UTC
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Propagazione degli errori tramite la regola di Taylor (noto anche come metodo "delta") -

$$ \ operatorname {Var} (X ^ 2) \ approx 4 \ operatorname {\ mathbb {E}} (X) ^ 2 \ operatorname {Var} (X)- \ operatorname {Var} (X) ^ 2 $$

Scusa se ho espanso la regola del sarto in un ordine in più, perché solo approssimare il $ \ operatorname {Var} (X) $ linearmente ha causato qualche problema con il mioalgoritmo, pensava che avrebbe aiutato altre persone a rendersi conto che non è lineare ...

-1 Proponi una soluzione * negativa * ogni volta che $ E (X) $ è sufficientemente piccola, il che dovrebbe metterti a disagio, e suggerisci anche, erroneamente, che esiste una "soluzione esatta".Non esiste una soluzione universale senza fare un'ipotesi esplicita su $ E (X ^ 4). $
scusa mi sono imbattuto in questa risposta https://stats.stackexchange.com/questions/5782/variance-of-a-function-of-one-random-variable/5790#5790 che ha \ begin {align} Var (f (X)) = [f '(EX)] ^ 2Var (X) - \ frac {[f' '(EX)] ^ 2} {4} Var ^ 2 (X) + \ tilde {T}_3 \ end {align}.stavo usando solo \ begin {align} \ text {Var} (X ^ 2) \ approx 4 \ mathbb {E} (X) ^ 2 \ text {Var} (X) \ end {align} e ho avuto problemi.e hai ragione poiché $ \ tilde {T} _3 $ contiene più di f '' '(EX) * qualcosa, ma (f' '' (EX) + qualcosa) * qualcosa


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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