Simulazione di una miscela casuale 50-50 di $ \ mathsf {Norm} (\ mu = 90, \ sigma = 2) $ e $ \ mathsf {Norm} (\ mu = 100, \ sigma = 2) $ è illustrato di seguito.Simulazione in R.

  set.seed (827);m = 10 ^ 6
x1 = rnorm (m, 100, 2);x2 = rnorm (m, 90, 2)
p = rbinom (m, 1, .5)
x = x1;x [p == 1] = x2 [p == 1]
hist (x, prob = T, col = "skyblue2", main = "Miscela casuale 50-50 di NORM (90,2) e NORM (100,2)")
  curva (.5 * (dnorm (x, 100, 2) + dnorm (x, 90, 2)), add = T, col = "red", lwd = 2)
 

Si spera che ti sia chiaro che non è garantito che C sia normale. Tuttavia, parte della tua domanda era come scrivere il suo PDF. @BallpointBen ti ha dato un suggerimento. Se ciò non bastasse, ecco altri spoiler ...

Nota che C può essere scritto come: $$ C = T \ cdot A + (1-T) \ cdot B $$ per un Bernoulli casuale $ T $ con $ P (T = 0) = P (T = 1) = 1/2 $ con $ T $ indipendente da $ (A, B) $. Questa è più o meno la traduzione matematica standard dell'affermazione inglese "C è A con il 50% di possibilità e B con il 50% di possibilità".

Ora, determinare il PDF di C direttamente da questo sembra difficile, ma puoi fare progressi scrivendo la funzione di distribuzione $ F_C $ di C. Puoi partizionare l'evento $ C \ leq X $ in due eventi secondari (a seconda del valore di $ T $) da scrivere:

$$ F_C (x) = P (C \ leq x) = P (T = 0 \ text {e} C \ leq x) + P (T = 1 \ text {e C} \ leq x) $$

e nota che in base alla definizione di C e all'indipendenza di T e B, hai:

$$ P (T = 0 \ text {e} C \ leq x) = P (T = 0 \ text {e} B \ leq x) = \ frac12P (B \ leq x) = \ frac12 F_B ( x) $$

Dovresti essere in grado di utilizzare un risultato simile nel caso $ T = 1 $ per scrivere $ F_C $ in termini di $ F_A $ e $ F_B $. Per ottenere il PDF di C, basta differenziare $ F_C $ rispetto a x.

Un modo su cui potresti lavorare è analizzarlo poiché la varianza tende a 0. In questo modo otterrai una distribuzione simile a Bernoulli, che (chiaramente) non è una distribuzione normale.

$ C $ non è distribuito normalmente a meno che $ A $ e $ B $ sono distribuiti in modo identico. Se $ A $ e $ B $ sono distribuiti in modo identico, tuttavia, $ C $ verrà anche distribuito in modo identico.

Prova

Siano $ F_A $ , $ F_B $ e $ F_C $ sono le funzioni di distribuzione cumulativa (CDF) di A, B e C, rispettivamente, e $ f_A $ , $ f_B $ e $ f_C $ le loro funzioni di densità di probabilità (PDF), ovvero

$$ \ begin {array} {l} F_A (x) = \ Pr (A < x), \\ F_B (x) = \ Pr (B < x), \\ F_C (x) = \ Pr (C < x), \\ f_A (x) = \ frac {d} {dx} F_A (x), \\ f_B (x) = \ frac {d} {dx} F_B (x), \ text {e} \\ f_C (x) = \ frac {d} {dx} F_C (x). \ end {array} $$

Abbiamo anche due eventi:

• $ \ Gamma_1 $ , ovvero quando $ C $ è definito come $ A $ , che si verifica con probabilità $ \ gamma $
• $ \ Gamma_2 $ , ovvero quando $ C $ è definito come $ B $ , che si verifica con probabilità $ 1 - \ gamma $

Secondo la legge della probabilità totale,

$$ \ begin {array} {rl} F_C (x) \! \! \! \! & = Pr (C < x) \\ & = \ Pr (C < x \ | \ \ Gamma_1) \ Pr (\ Gamma_1) + \ Pr (C < x \ | \ \ Gamma_2) \ Pr (\ Gamma_2) \\ & = \ Pr (A < x) \ Pr (\ Gamma_1) + \ Pr (B < x) \ Pr (\ Gamma_2) \\ & = \ gamma F_A (x) + (1 - \ gamma) F_B (x). \ end {array} $$

Pertanto,

$$ \ begin {array} {rl} f_C (x) \! \! \! \! & = \ frac {d} {dx} F_C (x) \\ & = \ frac {d} {dx} (\ gamma F_A (x) + (1 - \ gamma) F_B (x)) \\ & = \ gamma \ left (\ frac {d} {dx} F_A (x) \ right) + (1 - \ gamma) \ left (\ frac {d} {dx} F_B (x) \ right) \\ & = \ gamma f_A (x) + (1 - \ gamma) f_B (x), \ end {array} $$

e da $ \ gamma = 0.5, $

$$ f_C (x) = 0,5 f_A (x) + 0,5 f_B (x). $$

Inoltre, poiché il PDF di una distribuzione normale è una funzione gaussiana positiva e la somma di due funzioni gaussiane possitive è una funzione gaussiana positiva se e solo se le due funzioni gaussiane sono linearmente dipendenti, $ C $ è normalmente distribuito se e solo se $ A $ e $ B $ sono distribuiti in modo identico.

Se $ A $ e $ B $ sono distribuiti in modo identico, $ f_A (x) = f_B (x) = f_C (x) $ , quindi anche $ C $ verrà distribuito in modo identico.

Questo è il tipo di problema in cui è molto utile usare il concetto di CDF, la funzione di distribuzione di probabilità cumulativa, di variabili casuali, quel concetto totalmente inutile che i professori trascinano solo per confondere gli studenti che sono felici di usare solo pdf.

Per definizione, il valore del CDF $ F_X (\ alpha) $ di una variabile casuale $ X $ è uguale alla probabilità che $ X $ non sia maggiore del numero reale $ \ alpha $, cioè, $$ F_X (\ alpha) = P \ {X \ leq \ alpha \}, ~ - \ infty < \ alpha < \ infty. $$ Ora, la legge della probabilità totale ci dice che se $ X $ ha la stessa probabilità di essere uguale a una variabile casuale $ A $ o una variabile casuale $ B $, allora $$ P \ {X \ leq \ alpha \} = \ frac 12 P \ {A \ leq \ alpha \} + \ frac 12 P \ {B \ leq \ alpha \}, $$ o, in altre parole, $$ F_X (\ alpha \} = \ frac 12 F_A (\ alpha \} + \ frac 12 F_B (\ alpha \}. $$ Ricordando come il tuo professore chiacchierava noiosamente su come per le variabili casuali continue il pdf è il derivato del CDF, lo capiamo $$ f_X (\ alpha \} = \ frac 12 f_A (\ alpha \} + \ frac 12 f_B (\ alpha \} \ tag {1} $$ che risponde a una delle tue domande. Per il caso speciale di variabili casuali normali $ A $ e $ B $, puoi capire se $ (1) $ fornisce una densità normale per $ X $ o no? Se hai familiarità con nozioni come $$ E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ alpha f_X (\ alpha \} \, \ mathrm d \ alpha, \ tag {2} $$ puoi capire, sostituendo il lato destro di $ (1) $ per $ f_X (\ alpha) $ in $ (2) $ e pensando all'espressione, cosa è $ E [X] $ in termini di $ E [A] $ e $ E [B] $?