Se "sai" che la moneta è giusta

allora ci aspettiamo ancora che la proporzione di teste a lungo termine tenderà a $ 0,5 $ . Questo non vuol dire che dovremmo aspettarci più (del 50%) dei lanci successivi come code, ma piuttosto che l'iniziale $ 500 $ span > i ribaltamenti diventano irrilevanti in quanto $ n \ rightarrow \ infty $ . Una serie di $ 500 $ può sembrare molto (e in pratica lo è), ma

• se $ 250 $ dei successivi $ 500 $ i lanci sono teste, allora la proporzione del campione diventa $$ \ hat p = \ frac {500 + 250} {1000} = 0,75. $$
• se $ 250 $ dei successivi $ 500 $ i lanci sono teste, allora ... $$ \ hat p = \ frac {500 + 250 + 250} {1500} \ circa 0,67 $$
• se $ 100000 $ dei prossimi $ 200000 $ i lanci sono teste, allora ... $$ \ hat p = \ cdots \ circa 0.501. $$

Questa è la legge dei grandi numeri.

D'altra parte ...

se dovessi lanciare una moneta nella vita reale e vedere $ 500 $ testa di fila, inizierei a dubitare seriamente che la moneta sia effettivamente giusta. (Nota a margine interessante, è difficile (impossibile?) effettivamente falsare una moneta nella vita reale. Gli unici valori realistici di $ p $ sono $ 0 $ , $ 0,5 $ e $ 1 $ , ma lo ignoreremo per una risposta).

Per tenere conto di questa possibilità, potremmo utilizzare una procedura bayesiana fin dall'inizio. Piuttosto che supporre $ p = 1/2 $ , supponiamo di specificare la distribuzione precedente $$ p \ sim \ text {Beta} (\ alpha, \ alpha). $$

Questa è una distribuzione simmetrica, che codifica la mia convinzione a priori che la moneta sia giusta, ovvero $ E (p) = \ frac {1} {2} $ span >. Quanto fortemente credo in questa nozione viene specificato attraverso la scelta di $ \ alpha $ , poiché $ Var (p) = \ frac {1} {8 (\ alpha + 0.5)} $ .

• $ \ alpha = 1 $ corrisponde a un uniforme precedente a $ (0, 1) $ .
• $ \ alpha = 0,5 $ è il precedente di Jeffrey, un'altra scelta non informativa popolare.
• La scelta di un valore elevato di $ \ alpha $ dà più credito alla convinzione che $ p = 1/2 $ . In effetti, l'impostazione di $ \ alpha = \ infty $ implica che $ Pr (p = 1/2) = 1 $ .

Applicando direttamente la regola di Bayes, la distribuzione a posteriori di $ p $ è $$ p | y \ sim \ text {Beta} (\ alpha + y, \ alpha + n-y) $$ dove $ y = \ text {numero di teste} $ e $ n = \ text {numero di lanci} $ span>. Ad esempio, se scegli $ \ alpha = 1 $ e osservi $ n = y = 500 $ , la distribuzione a posteriori diventa $ \ text {Beta} (501, 1) $ e $$ E (p | y) = \ frac {\ alpha + y} {2 \ alpha + n} = \ frac {501} {502} \ circa 0,998 $$ span> indicando che dovrei scommettere sulla testa per il lancio successivo (poiché è altamente improbabile che la moneta sia giusta).

Questo processo di aggiornamento può essere applicato dopo ogni capovolgimento, utilizzando la distribuzione a posteriori dopo $ n $ capovolge come precedente per il flip $ n + 1 $ . Se si scopre che le $ 500 $ sono state solo un evento (astronomicamente) improbabile e la moneta è davvero giusta, la distribuzione a posteriori alla fine catturerà questo (usando un argomento simile alla sezione precedente).

Intuizione per la scelta di $ \ alpha $ : Per aiutare a comprendere il ruolo di $ \ alpha $ nella procedura bayesiana, possiamo usare il seguente argomento. La media della distribuzione a posteriori è equivalente alla stima di massima verosimiglianza di $ p $ , se dovessimo aumentare i dati con una serie di $ 2 \ alpha $ " ipotetici salti mortali ", dove $ \ alpha $ di questi salti mortali sono teste e $ \ alpha $ di questi salti mortali sono code. La scelta di $ \ alpha = 1 $ (come abbiamo fatto sopra) suggerisce che i dati aumentati sono $ 501 $ teste e $ 1 $ code. La scelta di un valore maggiore di $ \ alpha $ suggerisce che sono necessarie più prove per cambiare le nostre convinzioni. Tuttavia, per qualsiasi scelta finita di $ \ alpha $ , questi "capovolgimenti ipotetici" alla fine diventeranno irrilevanti in quanto $ n \ rightarrow \ infty $ .

La legge dei grandi numeri non afferma che una certa forza riporterà i risultati alla media.Afferma che all'aumentare del numero di prove le fluttuazioni diventeranno sempre meno significative.

Ad esempio, se lancio la moneta 10 volte e ottengo 7 teste, quelle due teste extra sembrano piuttosto significative.Se lancio la moneta 1.000.000 di volte e ottengo 500.002 teste, quelle due teste extra sono quasi completamente insignificanti.

Nel tuo esempio, quelle 500 teste extra saranno enormemente significative in una prova di 1.000 lanci.Tuttavia, se continui fino a 10.000 lanci, quelle 500 teste ammontano a una differenza del 5%.Dopo 1.000.000 di prove di 50/50 ribaltamenti, quelle 500 teste extra rappresentano solo una differenza dello 0,05%.Andare fino a 1.000.000.000 di prove e quella corsa iniziale di folle fortuna ammontava solo a una differenza dello 0,00005%.Puoi vedere che all'aumentare del numero di prove, i risultati si avvicinano al valore atteso.

L'idea che da una parte sia "dovuto" è in poche parole "l'errore del giocatore".In sintesi, l'errore del giocatore è la falsa convinzione che il breve periodo debba rispecchiare il lungo periodo.

La moneta non sa o non si preoccupa che tu abbia intenzione di smettere di lanciare.Per la moneta, rimane un'infinità di lanci, e contro quell'infinito, un semplice 500 è niente.Tieni presente che, una volta che un risultato è stato osservato, tale risultato non è più casuale.Il modello p (teste) = 0,5 non governa i valori osservati in passato.Ciascuno di questi valori è "testa" con probabilità 1.

Mentre affermi il problema, perseveri con il modello p (teste) = 0,5.Questo modello dice che la storia è irrilevante.Si potrebbe, a un certo punto, considerare un modello alternativo.

La risposta diretta, suppongo, è che non lo fai. La possibilità che una moneta equa ottenga $ 500 $ testa su $ 500 $ lanci è $ 1 $ in $ 2 ^ {500} \ approx3 \ times10 ^ {150} $ . Per riferimento, questo è uno su dieci miliardi di asaṃkhyeyas, un valore usato nella teologia buddista e indù per denotare un numero così grande da essere incalcolabile; si tratta del numero di volumi di Planck in un parsec cubico. Ho provato a trovare un confronto scattante "biglie nell'universo osservabile", ma non ci riesco. Niente è abbastanza piccolo e l'universo non è abbastanza grande.
In termini di probabilità, sei quasi un googol volte più propenso a mescolare un mazzo di carte in perfetto ordine crescente, assi bassi, fiori-quadri-cuori-picche ( $ 1 $ span > in $ {52!} $ ).
A questo punto, dovresti presumere di aver lanciato per errore una moneta a due teste. Le monete a due teste non sono particolarmente rare; sono una novità leggermente popolare. Le stime dicono che alcune decine di migliaia (supponiamo ventimila) entrino in circolazione⁠ - un errore facile con una moneta truccata ben fatta (e perfettamente legale: le monete truccate vengono realizzate lavorando due monete e incollandole insieme, ma non lo farei ". t provare a sostenere che valgono il doppio).
Se ci sono 20.000 double-head in circolazione tra i circa 3,82 miliardi di monete statunitensi in circolazione in questo momento, le probabilità che tu ne abbia raccolto uno per errore sono 1 su 191.000. Se c'è una probabilità del 99% per cento di notare che la moneta non ha il rovescio, è comunque mille asaṃkhyeya volte più probabile di questo risultato. Con una doppia intestazione tra le monete $ 793.464.097.826 $ prodotte dalla zecca degli Stati Uniti dal 1890 e una possibilità su trilione di lasciarlo sfuggire, è ancora una catastrofe del vuoto più probabile dell'alternativa.

Ci sono già alcune ottime risposte qui, ma volevo aggiungere un altro modo di pensare al problema che potrebbe essere più intuitivo rispetto alla revisione della matematica (per affrontare i sentimenti descritti nella domanda). Questo ragionamento vale per qualsiasi numero arbitrario particolare di processi, ma non affronta la situazione di più processi arbitrariamente verso l'infinito. Questi vengono gestiti in modo elegante e corretto nelle risposte matematiche già pubblicate.

Ogni lancio è completamente indipendente, quindi i lanci precedenti non hanno alcuna influenza sui lanci successivi. Ma non stai descrivendo i singoli capovolgimenti, perché stai imponendo informazioni su prove precedenti.

In questo scenario, stai utilizzando 500 prove precedenti per informare il tuo pensiero sul risultato del lancio successivo. Questo non funziona, poiché ogni lancio è indipendente da tutti gli altri. Se imponi informazioni su 500 lanci precedenti sul problema, allora stai interpretando il processo come una raccolta di lanci. In tal caso potrebbe essere più intuitivo considerare le prove non come singoli salti mortali ma come serie di salti mortali.

Come esempio più semplice, se lanciamo la moneta tre volte, abbiamo otto possibili risultati:

• HHH
• HHT
• HTH
• THH
• HTT
• THT
• TTH
• TTT

Riassumendo, questi risultati sono:

• Tre teste: 1 combinazione
• Due teste, una coda: 3 combinazioni
• Una testa, due code: 3 combinazioni
• Tre code: 1 combinazione

Quindi dalle descrizioni di riepilogo (dove l'ordine di inversione non ha importanza) è più probabile che vedremo un risultato 2: 1, semplicemente perché ci sono sei singole combinazioni che producono quel risultato rispetto alle possibilità 3: 0 , di cui esistono solo due possibili combinazioni. Ma ogni combinazione specifica di tre capovolgimenti appare nell'elenco una volta ed è probabile quanto le altre.

La stessa logica vale per più prove, anche se le combinazioni diventano noiose da elencare. Fortunatamente per noi, se stiamo affermando una serie di 500 lanci con risultati di teste che tolgono la maggior parte delle combinazioni dall'immagine, dobbiamo iniziare con 500/501 lanci che mostrano le teste.

Da quel punto di partenza ora esaminiamo quanti risultati sono possibili per il lancio rimanente e per quello abbiamo la probabilità di base di un singolo lancio di moneta che offre due risultati:

• 500 lanci di testa e poi un altro capovolgimento di testa
• 500 lanci di testa e poi un capovolgimento di croce

Ogni possibile combinazione di lanci in un set con un dato numero di prove individuali è ugualmente probabile, ma il riepilogo di ogni set produce molti risultati sovrapposti (ci sono molte combinazioni che producono 250 teste e 250 croci, poiché il l'ordine non è importante per il riepilogo, ma esattamente una combinazione che produrrebbe tutte le teste in tutte le singole prove).

Ci sono solo due combinazioni che possono descrivere la situazione nella domanda: ogni singolo dei primi 500 lanci deve mostrare la testa (assunto nel problema, quindi il la probabilità di quel risultato non è importante), quindi dopo quei 500 lanci iniziali, puoi ottenere il tuo primo risultato croce o il tuo risultato 501 ° testa.

Quindi questo è il mio suggerimento per aiutare a interiorizzare l'intuizione alla base di questo scenario:

• Ogni individuo lancio di una moneta equa è senza memoria e totalmente indipendente, e quindi ogni risultato è ugualmente probabile su qualsiasi particolare flip
• TIl numero di combinazioni possibili di risultati di inversione su 500 prove è grande, ma ogni combinazione specifica appare solo su quella lista una volta. Ogni combinazione possibile di 500 lanci è esattamente probabile come qualsiasi altro (ognuno ha una singola voce nel possibile elenco dei risultati)
• T Ci sono solo due possibili combinazioni di 501 flip che iniziano con 500 lanci che mostrano un risultato testa: uno in cui un altro testa si verifica un risultato e uno in cui si verifica un risultato di coda.Ognuno di quelli i risultati sono ugualmente probabili (deciso dal solo 501 ° lancio)

La cosa fondamentale da ricordare è che i lanci sono IID.La realizzazione potrebbe essere inclusa quando è considerata nella progettazione del tuo modello.Uno degli esempi è se il tuo modello è un modello markov, infatti molti modelli che utilizzano il framework bayesiano includono la realizzazione sull'aggiornamento della probabilità.Questo è un ottimo esempio di quello che ho menzionato prima.Il motivo per cui non si applica al tuo caso perché la realizzazione non è inclusa nella progettazione del tuo modello.

L'intuizione può spesso portarci fuori strada nel regno dell'infinito perché l'infinito non è sperimentato nel mondo reale.

Una buona regola pratica per aiutarti a pensarci è che ogni numero finito assomiglia da zero a infinito. Un milione di teste di fila sembra ancora zero all'infinito. Se dovessi "lanciare la moneta un numero infinito di volte" - cosa che non puoi fare, ma ciò che intendiamo veramente è "continuare a lanciare" - alla fine una serie di un milione di teste diventa quasi una certezza.

Ma l'infinito è un concetto complicato e dobbiamo lavorare sodo per assicurarci di sapere cosa stiamo dicendo. Ad esempio, ciò che intendiamo con "diventa quasi una certezza" è: se mi dai una percentuale, diciamo, 99,99; Calcolerò quindi quanti lanci di monete X devi eseguire per avere una probabilità del 99,99% di vedere una serie di un milione di teste lì dentro. Tu definisci cosa significa "vicino" - se vuoi che sia 99,999999%, va bene, mi limiterò a ricalcolare e ti darò un numero maggiore Y di lanci di monete da fare. Ma anche i salti mortali a Y non garantiranno la corsa da un milione di teste. Tutto quello che ti garantisco è che se esegui una serie di lanci Y, puoi aspettarti che il 99,999999% di loro abbia una corsa di un milione di teste (e più fai, più vicino al 99,999999% possiamo aspettarci che il risultato essere).

Nell'universo delle possibilità, iniziare una corsa con un numero di teste any è una possibilità. Quello che dice la legge dei grandi numeri è che se vai abbastanza a lungo, quella particolare corsa è sempre più immateriale perché ci sono così tanti altri esperimenti in corso. Sì, potresti ottenere un miliardo di teste di fila. Ma se mi dai una percentuale e un obiettivo, ad esempio, dì: "Voglio essere sicuro al 99,8% che il mio rapporto testa-coda sia compreso tra .499 e .501, e so che inizio con un miliardo di teste" posso dirti un numero Z che ti darà una probabilità del 99,8% di ottenere quello .

Infinity non è un numero.È un concetto al di là del numero e quando ne parliamo, dobbiamo stare molto attenti a sapere cosa intendiamo veramente, altrimenti finiremo per confonderci.La legge dei grandi numeri parla di cosa succede quando N "va all'infinito" (in realtà verso l'infinito, tu non "ci arrivi"), e quindi non sorprende che ragionare su cosa sia realmentedirti può portare ad alcune insidie.Tutto ciò che sperimentiamo è finito e, nel mondo reale, se un contabile ti guardasse alle spalle saresti sempre più nervoso per il numero di code di cui avrai bisogno per "bilanciare questo esaurimento".L'infinito ha il tempo per quello, anche se l'intera durata dell'esistenza dell'umanità potrebbe non farlo.

Diverse scuole di probabilità creano un po 'di confusione, quindi facciamolo sul computer come esperimenti.

Qual è la tua confusione?

1. Se ho (diciamo) 300 code nei primi 500 lanci, devo aspettarmi 200 code nei successivi 500 lanci?

2. Se ho (diciamo) 200 code nei primi 200 flip, dovrei aspettarmi (solo) 300 code nei successivi 800 flip?

3. Se ho $ x $ code nei primi $ y $ ribaltamenti, dovrei Mi aspetto (solo) $ 500-x $ code nei prossimi $ 1000-y $ ribaltamenti?

Oppure, se impostiamo tail a -1 e head a +1:

Se nel primo $ y $ capovolge la somma è $ s_1 = x $ , devo aspettarmi che nel prossimo $ ny $ la somma sia $ s_2 = -x \ frac {y} {ny } $ ?

Se capovolgiamo molte esecuzioni, ogni esecuzione $ n $ capovolge e tracciamo $ s_1 $ span> e $ s_2 $ , se la tua affermazione è vera, dovremmo vedere una bella riga per fixed $ y $ span>, per $ s_2 = -s_1 \ frac {y} {ny} $ .

Ecco un codice Python per il tuo problema:

  importa in modo casuale
da matplotlib importa pyplot come plt


def run ():
    n_trial = 1000
    capovolgere = 1000
    deviazione = []
    previsione = []
    per prova nell'intervallo (n_trial):
        risultato = [scelta casuale ([- 1, 1]) per _ nell'intervallo (capovolgi)]
        corrente = 500
        deviation.append (sum (result [: current]))
        prediction.append (sum (result [current:]))

    deviazione di ritorno, previsione


deviazione, previsione = run ()
plt.scatter (deviazione, previsione)
plt. mostra ()
 

Il risultato è una gigantesca palla di caos.

, il che significa che non sono correlati, anche da un punto di vista "sperimentale", .

Il fatto che tu abbia lanciato una moneta molte volte in passato è irrilevante. Ogni volta che lanci una moneta, l'aspettativa è che ci sia una probabilità del 50% che venga testa. Se hai intenzione di lanciarlo 500 volte, dovrebbe essere testa circa 250 volte. Ma non c'è garanzia. Tutte le 500 volte potrebbero essere teste o 0 volte.

Complessivamente, dopo aver finito con il tuo millesimo lancio avresti potuto avere testa da 500 a 1000 volte. La precisa combinazione di testa e croce che hai ottenuto aveva le stesse possibilità di verificarsi, anche se i primi 500 lanci erano testa.

Per visualizzarlo, diciamo che lo stavi girando 4 volte. I tuoi primi due lanci sono stati H, H. Il risultato potrebbe quindi essere:

  H, H, H, H
H, H, H, T
H, H, T, H
H, H, T, T
 

Puoi vedere che testa e croce hanno una probabilità del 50%. Diciamo che il risultato è stato H, H, H, T. Questo risultato è stato uno dei possibili

  H, H, H, H
H, H, H, T < --- tuo
H, H, T, H
H, H, T, T
H, T, H, H
H, T, H, T
H, T, T, H
H, T, T, T
T, H, H, H
T, H, H, T
T, H, T, T
T, H, T, T
T, T, H, H
T, T, H, T
T, T, T, H
T, T, T, T
 

quindi 16 combinazioni. Ognuno di questi sarebbe potuto accadere e uno di loro lo ha fatto. Solo perché dici che i primi due erano H, H non cambia il risultato degli ultimi due. I primi due avrebbero potuto essere T, T o T, H e il risultato degli ultimi due sarebbe stato comunque indipendente.