Domanda:
Creazione di una priorità uniforme sulla scala logaritmica
Vass
2011-02-21 08:44:29 UTC
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Una priorità uniforme per un parametro di scala (come la varianza) è uniforme sulla scala logaritmica.

Quale forma funzionale ha questa priorità sulla scala lineare? E perché così?

Tre risposte:
#1
+15
JMS
2011-02-21 11:27:08 UTC
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È solo un cambio standard di variabili; la trasformazione (monotona & 1-1) è $ y = \ exp (x) $ con $ x = \ log (y) $ e Jacobian $ \ frac {dx} {dy} = \ frac {1} {y} $.

Con un $ p_y (y) \ propto 1 $ a priori uniforme su $ \ mathbb {R} $ otteniamo $ p_x (x) = p_y (x (y)) | \ frac {dx } {dy} | \ propto \ frac {1} {y} $ su $ (0, \ infty) $.

Modifica: Wikipedia ha un po 'sulle trasformazioni di variabili casuali: http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_density_function#Dependent_variables_and_change_of_variables. Materiale simile sarà in qualsiasi libro di probabilità introduttivo. "Probability" di Jim Pitman presenta il materiale in un modo piuttosto particolare anche IIRC.

solo aggiungendo alla risposta di @JMS, un ottimo riferimento da verificare è ** Inferenza bayesiana nell'analisi statistica ** di Box e Tiao. Presenta anche idee concettuali alla base.
#2
+2
probabilityislogic
2011-03-27 14:09:00 UTC
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La risposta di @JMS è adeguata per i dettagli del cambiamento delle variabili. Tuttavia, questa domanda può aiutarti un po 'con il motivo per cui è uniforme su quella scala.

La mia risposta a questa domanda passa attraverso una derivazione leggermente più lunga del risultato della "regola giacobiana" fornito nella risposta di @ JMS. Può aiutare a capire perché si applica la regola.

+1 per i riferimenti aggiuntivi. La mia derivazione preferita per la formula del cambio di variabili inizia con il cdf, come nell'altra tua risposta.
@JMS - la regola cdf è l'unica con cui non mi confondo, di solito faccio fatica a ricordare se è $ \ frac {dy} {dx} $ o $ \ frac {dx} {dy} $ con il giacobiano
lo stesso per me - Pitman fornisce una bella spiegazione geometrica, motivo per cui ho fatto riferimento ad esso nella mia risposta, ma non riesco mai a ricordarlo quando conta :) Quando ho fatto una lezione di probabilità abbiamo usato questo testo e alcuni studenti hanno trovato è molto utile.
#3
+2
Ioana Zelko
2019-06-29 00:16:14 UTC
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Ci viene detto che il parametro di scala è uniforme sulla scala logaritmica. Ciò significa che se x è il parametro di scala, allora $ y = \ log () $ e la funzione di distribuzione per $ y $ è l'uniforme sulla scala logaritmica, $ p_Y (y) \ propto 1 $ .

Quindi, applicando la trasformazione Jacobiana che deriva dal fatto che la probabilità contenuta in un'area differenziale deve essere invariante al variare delle variabili, dobbiamo avere che $ p_X () = p_Y (y (x)) | \ frac {dy} {dx} | $ . Poiché $ \ frac {dy} {dx} \ propto \ frac {1} {x} $ , otteniamo $ p_X () \ propto \ frac {1} {x} $ .

Nota: ho provato a postare questo come commento ma non ho i privilegi per pubblicare commenti perché sono un nuovo utente. La risposta attualmente accettata alla domanda (fornita da @JMS) contiene errori. Ho provato a modificare la risposta data da @JMS per apportare le modifiche minime necessarie, ma la mia modifica è stata rifiutata perché le persone volevano che lo mettessi come commento o come risposta. In primo luogo, $ p _ () $ dovrebbe finire per essere una funzione di $ x $ , non una funzione di y. Il modo in cui la risposta di @ JMS è formulata in questo momento fornisce $ p_X (x) \ propto \ frac {1} {y} $ . In secondo luogo, c'è un errore nella formulazione giacobiana, dovrebbe essere $ p_X () = p_Y (y (x)) | \ frac {dy} {dx} | $ span >; in questo momento è dato come $ p_X () = p_Y (x (y)) | \ frac {dx} {dy} | $ . Terzo, $ y = \ log () $ , non $ y = \ exp (x) $ , per il motivo spiegato in questa risposta.



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 2.0 con cui è distribuito.
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